7.6 Die Gleitpunkttypen float und double 

Jetzt zu den Gleitpunkttypen (Floatingpoint). Mit ihnen wird es möglich, genauere Berechnungen mit Nachkommastellen auszuführen. Hier wieder zuerst eine kleine Übersicht:

Angewendet wird dieser Datentyp genauso wie int und alle anderen Datentypen, die Sie bereits kennen.

Hierzu eine kurze Erklärung, warum es Gleitpunkttyp und nicht Gleitkommatyp heißt. Dies liegt daran, dass die Programmiersprache C in den USA entwickelt wurde. Und dort wird anstatt eines Kommas zwischen den Zahlen ein Punkt verwendet (man spricht von floating point variables):

float a=1,5;   /* FALSCH  */
float b=1.5;   /* RICHTIG */

Das Komma verwenden die US-Amerikaner wiederum genauso wie Europäer den Punkt bei größeren Zahlen. Folgendes Beispiel schreiben wir (Europäer) so:

1.234.567

Und die US-Amerikaner schreiben dies wiederum so:

1,234,567

Dazu ein Beispiel. Es wird ein Programm geschrieben, welches die Fläche eines Rechtecks berechnet.

/* rectangle.c */
#include <stdio.h>
int main(void) {
   /* Deklaration */
   float flaeche, l, b;
   printf("Berechnung der Flaeche eines Rechtecks\n");
   /* Werte einlesen */
   printf("Laenge des Rechtecks: ");
   scanf("%f",&l);
   printf("Breite des Rechtecks: ");
   scanf("%f",&b);
   /* Fläche berechnen */
   flaeche = l * b;
   printf("Flaeche des Rechtecks betraegt : %f\n",flaeche);
   return 0;
}

Bei diesem Listing wird der Anwender nach der Länge und der Breite einer rechteckigen Fläche gefragt. Diese Gleitpunktzahl wird mit Hilfe von scanf() eingelesen und an die Adressen der Variablen l und b übergeben. Anschließend wird dieser Wert zur Berechnung verwendet. Das Ergebnis wird am Schluss des Programms auf dem Bildschirm ausgegeben.

Beachten Sie im Zusammenhang mit Gleitpunktzahlen auch Folgendes: Wenn Sie zwei verschiedene Variablen, z.B. int und float, miteinander durch Operatoren verknüpfen, erhalten Sie das Ergebnis vom genaueren Datentyp dieser beiden Variablen zurück. Ein Beispiel:

/* divide.c */
#include <stdio.h>
int main(void) {
   float f = 5.0;
   int i = 2;
   printf("%f\n",f/i); // Ergebnis = 2.500000
   return 0;
}

Die Ausgabe des Programms ist »2.500000«, weil der genauere der beiden Datentypen hier vom Typ float ist.

7.6.1 Gleitpunkttypen im Detail 

Bei Gleitpunkttypen wird auch von Zahlen mit gebrochenem Anteil (reelle Zahlen) gesprochen. Der C-Standard schreibt hierbei nicht vor, wie die interne Darstellung von reellen Gleitpunktzahlen erfolgen muss. Dies ist abhängig von den Entwicklern der Compiler. Meistens wird aber der IEEE-Standard 754 verwendet (IEEE = Institute of Electrical and Electronics Engineers). In der Regel kann es dem Programmierer egal sein, wie Gleitpunktzahlen auf seinem System dargestellt werden. Trotzdem, für den interessierten Programmierer hier eine kurze Erklärung der internen Darstellung von Gleitpunktzahlen, ohne sich zu sehr in die Details zu verfangen.

Gleitpunktzahlen werden halb logarithmisch dargestellt, das heißt, die Darstellung einer reellen Gleitpunktzahl basiert auf einer Zerteilung in ein Vorzeichen, eine Mantisse und einen Exponenten zur Basis 2. Für echte Mathematiker sei gesagt, dass der Begriff »Mantisse« hier nichts mit einer Mantisse eines Logarithmus gemeinsam hat.

Die Genauigkeit nach dem Komma der Gleitpunktzahl hängt von der Anzahl der Bits ab, die der entsprechende reelle Datentyp in seiner Mantisse speichern kann. Der Wertebereich hingegen wird durch die Anzahl der Bits für den Exponenten festgelegt.

Hierzu folgen die Speicherbelegungen der einzelnen reellen Gleitpunktzahlen im IEEE-Format.

7.6.2 float im Detail 

float ist eine 32-Bit-Zahl. Diese 32 Bit teilen sich folgendermaßen auf:

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Abbildung 7.2   float im Detail

Vorzeichen (Vz)-Bit (1 Bit): In Bit 31 wird das Vorzeichen der Zahl gespeichert. Ist dieses 0, dann ist die Zahl positiv, bei 1 ist sie negativ.

Exponent (8 Bits): In Bit 23 bis 30 wird der Exponent mit einer Verschiebung (Bias) der Zahl gespeichert (Bias bei float 127).

Mantisse (23 Bits): In Bit 0 bis 22 wird der Bruchteil der Mantisse gespeichert. Das erste Bit der Mantisse ist immer 1 und wird nicht gespeichert.

7.6.3 double im Detail 

Beim Datentyp double ist es ähnlich wie bei float. double ist eine 64-Bit-Zahl mit doppelter Genauigkeit. double ist folgendermaßen aufgeteilt:

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Abbildung 7.3   double im Detail

Vorzeichen-Bit (1 Bit): In Bit 63 wird das Vorzeichen der Zahl gespeichert. Ist dieses 0, dann ist die Zahl positiv, bei 1 ist sie negativ.

Exponent (11 Bit): In Bit 52 bis 62 wird der Exponent mit einer Verschiebung (Bias) der Zahl gespeichert (Bias bei double 1023).

Mantisse (52 Bit): In Bit 0 bis 51 wird der Bruchteil der Mantisse gespeichert. Das erste Bit der Mantisse ist immer 1 und wird nicht gespeichert.

7.6.4 long double 

Wird dem Datentyp double das Schlüsselwort long vorangestellt, erhalten Sie eine 80-Bit-Zahl mit einer noch höheren Genauigkeit.

Wenn Sie long double mit dem sizeof-Operator auf seine Speichergröße in Bytes überprüft haben, dürften Sie sicherlich verwundert sein, dass der Datentyp auf 32-Bit-Systemen 12 Bytes beansprucht. Auf einem 32-Bit-System werden dazu einfach zwei Füllbytes angefügt. Auf 16-Bit-Systemen beansprucht long double weiterhin 10 Bytes Speicher. Auf einer HP-UX Maschine hingegen benötigt long double gar 16 Bytes an Speicher. Dabei werden aber alle 128 Bits genutzt, und somit lässt sich eine Genauigkeit von 33 Stellen anzeigen.

Fall 1: Man braucht wirklich nie eine solche Genauigkeit wie mit long double, es reicht double aus. Außerdem entspricht long double nicht dem C89-Standard.

Fall 2: Man braucht viel Genauigkeit, in diesem Fall bietet sich eher die Benutzung von speziellen Bibliotheken an, die extra dafür konzipiert worden sind und Genauigkeit bis ins Unendliche erlauben (z.B. Perl, Math::BigInt/BigFloat).

7.6.5 Einiges zu n-stelliger Genauigkeit 

Eine Fließkommazahl mit 6-stelliger Genauigkeit wie float kann sechs Dezimalstellen nicht immer korrekt unterscheiden. Wenn beispielsweise die Zahl vor dem Komma (z.B. »1234,1234«) bereits vier Stellen besitzt, so kann sie nach dem Komma nur noch zwei Stellen unterscheiden. Somit wären die Gleitpunktzahlen 1234,12345 und 1234,123999 als float-Zahlen für den Computer nicht voneinander unterscheidbar. Mit 6-stelliger Genauigkeit sind die signifikanten Stellen von links nach rechts gemeint. Der Typ float ist also ungeeignet für kaufmännische und genaue wissenschaftliche Berechnungen. Dazu folgendes Beispiel:

/* floating.c */
#include <stdio.h>
int main(void) {
   float x=1.1234;
   float dollar=100000.12;
   float end_float;
   double y=1.1234;
   double DOLLAR=100000.12;
   double end_double;
   printf("%f Euro mit float\n",end_float=dollar*x);
   printf("%f Euro mit double\n",end_double=DOLLAR*y);
   return 0;
}

Hier werden zwei verschiedene Ergebnisse zurückgegeben. Die Differenz mag minimal sein, doch bei Börsenberechnungen könnte eine solche Ungenauigkeit durchaus Millionen von Euro kosten, und in der Astronomie wäre der Mond wohl heute noch nicht erreicht.

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Abbildung 7.4   Darstellung von Fließkommazahlen mit double und float

float ist nach sechs Dezimalstellen am Ende. Mit double haben Sie dagegen die Möglichkeit, eine auf 15 Stellen genaue Zahl zu erhalten und mit long double eine 19-stellige.

Was ist zu tun, wenn diese Genauigkeit nicht ausreichen sollte? In diesem Fall müssen Sie sich nach so genannten Festkomma-Algorithmen umsehen. Denn Festkomma-Darstellungen wie die BCD-Arithmetik gibt es in C nicht.